Model Reduction: Proofs

Beweissammlung: Modellreduktion (Oral Exam Prep)

Teil 1: Kurze und einfache Beweise

1. Elliptizität impliziert Koerzivität

Aussage: Wenn ein Differentialoperator elliptisch ist, ist die zugehörige Bilinearform koerziv.

Resultat: \(b_\mu(u,u) \ge \alpha_\mu \|u\|_{H^1}^2\)

Formaler Beweis:

1. Definition: \(b_\mu(u,u) = \int_\Omega \nabla u(x)^T \alpha_\mu(x) \nabla u(x) dx\)
2. Wende Elliptizität an (\(\xi^T \alpha_\mu(x) \xi \ge c \vert\xi\vert^2\) mit \(\xi = \nabla u(x)\)): \(b_\mu(u,u) \ge c \int_\Omega \vert\nabla u(x)\vert^2 dx = c \vert u\vert_{H^1}^2\)
3. Wende Poincaré-Friedrichs-Ungleichung an (\(c \vert u\vert_{H^1}^2 \ge \alpha_\mu \|u\|_{H^1}^2\)): \(b_\mu(u,u) \ge \alpha_\mu \|u\|_{H^1}^2 \quad \square\)

2. Koerzivität impliziert inf-sup-Stabilität (für \(U=V\))

Aussage: Jede koerzive Bilinearform erfüllt automatisch die inf-sup-Bedingung.

Resultat: Die inf-sup Konstante \(\beta_\mu\) ist mindestens so groß wie die Koerzivitätskonstante \(\alpha_\mu\).

Formaler Beweis: \(\beta_\mu = \inf_{u \in U} \sup_{v \in V} \frac{b_\mu(u,v)}{\|u\|_U \|v\|_V} \ge \inf_{u \in U} \frac{b_\mu(u,u)}{\|u\|_U \|u\|_U} \ge \inf_{u \in U} \frac{\alpha_\mu \|u\|_U^2}{\|u\|_U^2} = \alpha_\mu \quad \square\)

3. Lemma 1.2.9 & 1.2.10: Supremizer und inf-sup Konstante

Aussage: Der Supremizer \(s_u(\mu)\) realisiert das Supremum der inf-sup-Bedingung. Die inf-sup Konstante lässt sich über die Norm des Supremizers ausdrücken.

Resultat: \(\sup_{v} \frac{b_\mu(u,v)}{\|v\|_V} = \|s_u(\mu)\|_V\) und \(\beta_\mu = \inf_{u \in U} \frac{\|s_u(\mu)\|_V}{\|u\|_U}\)

Formaler Beweis:

1. Da \((s_u(\mu), v)_V = b_\mu(u,v)\), gilt: \(\sup_{v \in V} \frac{b_\mu(u,v)}{\|v\|_V} = \sup_{v \in V} \frac{(s_u(\mu), v)_V}{\|v\|_V} = \frac{\|s_u(\mu)\|_V^2}{\|s_u(\mu)\|_V} = \|s_u(\mu)\|_V\)
2. Einsetzen in die Definition von \(\beta_\mu\): \(\beta_\mu = \inf_{u \in U} \frac{1}{\|u\|_U} \left( \sup_{v \in V} \frac{b_\mu(u,v)}{\|v\|_V} \right) = \inf_{u \in U} \frac{\|s_u(\mu)\|_V}{\|u\|_U} \quad \square\)

4. Lemma 1.3.2: A-posteriori Fehlerschätzer

Aussage: Der Fehler lässt sich strikt durch das Residuum abschätzen.

Resultat: \(\|u_\mu - u_\mu^\delta\|_U \le \frac{1}{\beta_\mu} \|r_\mu^\delta\|_{V'}\)

Formaler Beweis: \(\|u_\mu - u_\mu^\delta\|_U \le \frac{1}{\beta_\mu} \sup_{v \in V} \frac{b_\mu(u_\mu - u_\mu^\delta, v)}{\|v\|_V} = \frac{1}{\beta_\mu} \sup_{v \in V} \frac{f(v) - b_\mu(u_\mu^\delta, v)}{\|v\|_V} = \frac{1}{\beta_\mu} \sup_{v \in V} \frac{\langle f_\mu - B_\mu u_\mu^\delta, v \rangle}{\|v\|_V} = \frac{1}{\beta_\mu} \|r_\mu^\delta\|_{V'} \quad \square\)

5. Theorem 1.3.5: Céa’s Lemma (Koerziver Fall)

Aussage: Die Galerkin-Approximation ist bis auf eine Konstante die Bestapproximation im Raum.

Resultat: \(\|u_\mu - u_\mu^\delta\|_U \le \frac{C_\mu}{\alpha_\mu} \inf_{w^\delta \in U^\delta} \|u_\mu - w^\delta\|_U\)

Formaler Beweis: \(\alpha_\mu \|u_\mu - u_\mu^\delta\|_U^2 \le a_\mu(u_\mu - u_\mu^\delta, u_\mu - u_\mu^\delta)\) (Nutze Galerkin-Orthogonalität \(a(u-u^\delta, v^\delta) = 0\) mit \(v^\delta = u^\delta - w^\delta\)): \(= a_\mu(u_\mu - u_\mu^\delta, u_\mu - w^\delta) \le C_\mu \|u_\mu - u_\mu^\delta\|_U \|u_\mu - w^\delta\|_U\) Teilen durch \(\|u_\mu - u_\mu^\delta\|_U\) liefert: \(\alpha_\mu \|u_\mu - u_\mu^\delta\|_U \le C_\mu \|u_\mu - w^\delta\|_U \quad \square\)

6. Proposition 1.9.6: Primal-Dualer Trick für Output-Fehler

Aussage: Der Fehler eines Outputs \(\vert s(u) - s(u_N)\vert\) fällt quadratisch (doppelt so schnell) wie der Zustandsfehler.

Resultat: \(\vert s(u) - s(u_N)\vert \le \frac{1}{\beta_{LB}} \|r_N(\mu)\|_{V'} \|\tilde{r}_N(\mu)\|_{U'}\)

Formaler Beweis (Idee): Aubin-Nitsche Trick: Anstatt den Output-Fehler direkt per Cauchy-Schwarz abzuschätzen, wird ein duales Problem eingeführt (\(b(w,z) = -\ell(w)\)), bei dem das Output-Funktional die rechte Seite ist. Setzt man den Fehler ein, wird der Output-Fehler als Bilinearform aus primaler und dualer Fehlerfunktion geschrieben. Das Resultat ist das Produkt beider Residuen-Normen.

7. Theorem 1.10.2: Stabilität der Ultra-schwachen Formulierung

Aussage: Die inf-sup Konstante der ultra-schwachen Formulierung ist exakt 1.

Resultat: \(\beta_\mu = 1\)

Formaler Beweis:

Die Konstante ist definiert als \(\beta_\mu = \inf_{u \in U} \sup_{v \in V_\mu} \frac{b_\mu(u,v)}{\|u\|_U \|v\|_{V_\mu}}\). Wir betrachten zunächst ein beliebiges, festes \(u \in U\) und wählen dafür die Testfunktion \(v\) exakt so, dass \(B_\mu^* v = u\) gilt. Für das Supremum dieses spezifischen \(u\) gilt dann: \(\sup_{v \in V_\mu} \frac{b_\mu(u,v)}{\|u\|_U \|v\|_{V_\mu}} \ge \frac{(u, B_\mu^* v)_{L_2}}{\|u\|_U \|B_\mu^* v\|_{L_2}} = \frac{(u,u)_{L_2}}{\|u\|_U \|u\|_U} = \frac{\|u\|_U^2}{\|u\|_U^2} = 1\) Da diese Ungleichung (Supremum \(\ge 1\)) für jedes beliebige \(u \in U\) gilt, ist auch das Infimum über alle \(u\) größer oder gleich \(1\): \(\beta_\mu = \inf_{u \in U} \left( \sup_{v \in V_\mu} \dots \right) \ge 1\) Da die Stetigkeitskonstante der Form ebenfalls 1 ist, folgt \(\beta_\mu = 1\). \(\quad \square\)

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Teil 2: Längere und komplexere Beweise

8. Proposition 2.2.1: Optimaler Update-Raum (PBDW)

Aussage: Das optimale Update \(w^*\) liegt im Sensorraum und ist orthogonal zum Physik-Modell: \(w^* \in \mathcal{W}^M \cap (U^N)^\perp\).

Beweisidee: Zweifache orthogonale Zerlegung (Schattenwurf) und Betrachtung der Kostenfunktion \(J_\kappa(u,w) = \kappa \|w\|^2 + \frac{1}{M} \sum (\ell_m^o(u+w) - \ell_m^{obs})^2\).

Kurzzusammenfassung:

1. \(w^* \in \mathcal{W}^M\): Alles, was nicht im Sensorraum liegt, wird von den Sensoren nicht gemessen, kostet aber \(\kappa\)-Strafe. Muss also Null sein.
2. \(w^* \in (U^N)^\perp\): Alles, was bereits im Physik-Raum \(U^N\) liegt, kann kostenlos vom Hintergrundmodell \(u\) übernommen werden, anstatt als Update \(w\) teuer mit \(\kappa\) bestraft zu werden.

Ausführliche Erklärung:

• Teil 1 (\(w^* \in \mathcal{W}^M\)): Nach dem Projektionssatz ist \(w = P_{\mathcal{W}^M}w + P_{(\mathcal{W}^M)^\perp}w\). Beim Einsetzen in den Daten-Fit-Term \(\ell_m^o(w) = (q_m, w)_{\mathcal{W}}\) fällt der orthogonale Rest weg: \((q_m, P_{(\mathcal{W}^M)^\perp}w) = 0\), da \(q_m \in \mathcal{W}^M\). In der Straffunktion gilt aber \(\|w\|^2 = \|P_{\mathcal{W}^M}w\|^2 + \|P_{(\mathcal{W}^M)^\perp}w\|^2\). Der orthogonale Rest erhöht nur die Kosten, ohne den Daten-Fit zu verbessern. Um \(J_\kappa\) zu minimieren, muss \(P_{(\mathcal{W}^M)^\perp}w = 0\) gelten.
• Teil 2 (\(w^* \in (U^N)^\perp\)): Wir zerlegen \(w = P_{U^N}w + P_{(U^N)^\perp}w\). Der Gesamtzustand ist \(u + w = \underbrace{(u + P_{U^N}w)}_{\in U^N} + P_{(U^N)^\perp}w\). Da \(u\) im Funktional unbestraft bleibt, schieben wir den Anteil \(P_{U^N}w\) einfach in das \(u\) rüber. Dadurch ändert sich der Daten-Fit nicht, aber die Strafe \(\kappa\|w\|^2\) wird strikt kleiner. Folglich muss \(P_{U^N}w = 0\) gelten.

9. Theorem 3.2.4: Eindeutigkeit nichtlinearer PDEs (Banach’scher Fixpunkt)

Aussage: Wenn die wirkenden Kräfte klein bzw. die Viskosität groß ist (Small Data Condition), gibt es genau eine eindeutige Lösung.

Beweisidee: Die PDE in eine Fixpunktgleichung \(u = T(u)f\) umschreiben und über den Banachschen Fixpunktsatz zeigen, dass \(T(u)f\) eine Kontraktion ist.

Kurzzusammenfassung: Wir frieren das erste Argument der Trilinearform ein, wodurch ein invertierbarer linearer Operator entsteht (\(T(u) = A(u)^{-1}\)). Durch den “Inversen-Trick” \(A^{-1} - B^{-1} = A^{-1}(B-A)B^{-1}\) lässt sich der Abstand zweier Lösungen abschätzen. Ist der resultierende Vorfaktor \(<1\) (Small Data Condition), ist es eine Kontraktion.

Ausführliche Erklärung:

1. Selbstabbildung: \(b(w,u,v) = f(v) \implies A(w)u = f \implies u = T(w)f\). Aus der Koerzivität (\(\alpha\)) folgt für die Norm der Inversen: \(\|T(w)\| \le \frac{1}{\alpha}\). Damit ist \(\|T(v)f\| \le \frac{1}{\alpha}\|f\|\). Wir definieren den Ball \(B_0(\xi)\) mit Radius \(\xi := \frac{\|f\|}{\alpha}\).
2. Kontraktion (Der Inversen-Trick): Für \(u,v \in B_0(\xi)\) gilt: \(T(u) - T(v) = T(u) \big[ A(v) - A(u) \big] T(v)\) Angewendet auf \(f\) und Norm gebildet (Submultiplikativität): \(\|T(u)f - T(v)f\| \le \|T(u)\| \cdot \|A(v) - A(u)\| \cdot \|T(v)f\|\)
3. Abschätzen: Wir setzen ein: \(\|T(u)\| \le \frac{1}{\alpha}\), \(\|T(v)f\| \le \xi = \frac{\|f\|}{\alpha}\), und über die lokale Lipschitz-Stetigkeit \(\|A(v) - A(u)\| \le L(\xi)\|u-v\|\). Daraus folgt: \(\|T(u)f - T(v)f\| \le \left[ \frac{\|f\|}{\alpha^2} L\left( \frac{\|f\|}{\alpha} \right) \right] \|u-v\|\). Damit Banach funktioniert, muss der Vorfaktor (die Klammer) strikt kleiner \(1\) sein. Das ist exakt die Small Data Condition!

10. Theorem 3.4.1: Nichtlinearer Fehlerschätzer für Newton

Aussage: Die Fehlerschranke im \(k\)-ten Newton-Schritt besteht aus der Summe aller vergangenen Residuen, multipliziert mit einem “Aufbläh-Faktor” der Nichtlinearität.

Beweisidee: Aufspaltung des Fehlers, Anwendung der Fréchet-Ableitung, vollständige Induktion und diskretes Gronwall-Lemma.

Kurzzusammenfassung: Der Fehler \(e_{k+1}\) wird in den alten Fehler \(e_k\) und den Update-Fehler aufgespalten. Die LBB-Stabilität der Fréchet-Ableitung liefert eine Rekursionsgleichung: \(E_{neu} \le \text{Faktor} \cdot E_{alt} + \text{Residuum}\). Das Entrollen dieser Rekursion (Induktion) führt zur Summen-Produkt-Formel.

Ausführliche Erklärung:

1. Wir wollen \(\|u^{(k+1)} - u_N^{(k+1)}\|\) abschätzen. Da ein Newton-Schritt aus Zustand + Update besteht, spalten wir per Dreiecksungleichung auf: \(\le \|u^{(k)} - u_N^{(k)}\| + \|z^{(k)} - z_N^{(k)}\|\).
2. Den Update-Fehler schätzen wir nach oben ab, indem wir die Fréchet-Ableitung darauf anwenden (erlaubt durch deren LBB-Stabilität \(\beta\)).
3. Setzen wir die RB-Newton-Gleichung in die wahre Gleichung ein, erhalten wir das Residuum \(r_N^{(k)}\).
4. Die Differenz der Ableitungen wird durch die Lipschitz-Konstante \(L_{dF}\) abgeschätzt, die Differenz der Nichtlinearität durch \(L_F\).
5. Das Resultat ist eine Rekursionsgleichung: \(E_{k+1} \le \left( 1 + \frac{L_F}{\beta} + \frac{L_{dF}}{\beta}\|z_N\| \right) E_k + \frac{1}{\beta}\|r_N^{(k)}\|\).
6. Durch vollständige Induktion (diskretes Gronwall-Lemma) multipliziert sich der Wachstumsfaktor mit jedem Iterationsschritt auf, was die endgültige Struktur des Theorems (Summe über vergangene Residuen \(\times\) Produkt der Aufbläh-Faktoren) beweist.